方程的意义是什么(数学中的方程)

哼哈百家事 2022-11-14 01:07:58 投稿 浏览:227
方程的意义:含有未知数的等式是方程,数学中的方程简单的是人们为了求解一些数之间的关系,因为直接求需要复杂的逻辑推理关系,而用代数和方程就很容易求解,从而降低难度。

含有未知量的等式就是方程了,数学最先发展于计数,而关于数和未知数之间通过加、减、乘、除和幂等运算组合,形成代数方程:一元一次方程,一元二次方程、二元一次方程等等。然而,随着函数概念的出现,以及基于函数的微分、积分运算的引入,使得方程的范畴更广泛,未知量可以是函数、向量等数学对象,运算也不再局限于加减乘除。

方程问题

方程在数学中占有重要的地位,似乎是数学永恒的话题。方程的出现不仅极大扩充了数学应用的范围,使得许多算术解题法不能解决的问题能够得以解决,而且对后来整个数学的进展产生巨大的影响。特别是数学中的许多重大发现都与它密切相关。例如:

  • 对二次方程的求解,导致虚数的发现;
  • 五次和五次以上方程的求解,导致群论的诞生;
  • 一次方程组的研究,导致线性代数的建立,对多项式的研究,导致多项式代数的出现;
  • 用方程解决几何问题,导致解析几何的形成等等。

如何求解方程?

代数方程

中学阶段接触到方程基本都在这个范畴,方程中的未知数,可以出现在方程中的分式、整式、根式以及三角函数、指数函数等初等函数的自变量中。比如下面的形式(x是未知数):

代数方程

函数方程

区别于上述方程,方程中的未知量是函数本身,而非函数的自变量;运算涉及到加减乘除以及函数复合。比如:

函数方程

针对函数方程的求解问题,还没有统一的理论和一般的方法。对于部分函数方程可以考虑:

  • 换法
  • 西解法:依次对自变量取自然数、整数值、有理数、直至所有实数求得函数值的方法。一般会在函数连续、单调等条件下限定求解范围。

傅里叶变换

自从数学从常量数学转变为变量数学,方程的内容也随之丰富,因为数学引入了更多的概念,更多的运算,从而形成了更多的方程。其他自然科学,尤其物理学的发展也直接提出了方程解决的需求,提供了大量的研究课题。

常微分方程

微分方程指的是:含有未知函数及其导数的方程。该类方程的未知量是函数,不同于函数方程的是,对未知函数有求导运算,且可以是高阶导数。然而,如果方程中的未知函数只含有一个自变量,那么微分方程就是常微分方程了。

一般的n阶常微分方程的形式:

函数方程

如果方程左端的函数y及其导数均为一次有理整式,那么方程就称为n阶线性微分方程,否则就是n阶非线性微分方程。

因为大多数的微分方程是无法求得显式解的,仅仅是分析其解的稳定性或者求近似的数值解。这部分内容十分的丰富,生命力极强,有着大量的工作可作。

偏微分方程

如果微分方程中的未知函数是多元函数,并存在未知函数的偏导数运算,那么该方程被称为偏微分方程。

17世纪,微积分创立之后,常微分方程的相关理论就快速的发展起来。常微分方程也应用于几何与力学问题的探讨,并解释了早期已经知道的天体力学中的事实,获得新的发现。但偏微分方程的研究要晚一些,在物理学上遇到的一些偏微分方程问题在18世纪造就了一个分支,数学物理方程,而直到19世纪末偏微分方程一般理论基础才发展起来。

偏微分方程

偏微分方程与其他数学分支如泛函分析、函数论、拓扑学、代数、复分析等紧密联系,这些数学分支中的基本概念、思想、方法得到了广泛的应用。

积分方程

通常把积分号下含有未知函数的方程称为积分方程,如果未知函数为多元函数,方程被称为多维积分方程。

随机微分方程

随机微分方程,又将随机过程考虑在内,引入了随机项或者马尔切夫链,使得方程更加的复杂。


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