开方是什么意思(乘方与开方的逆运算)

哼哈百家事 2022-11-16 11:10:42 投稿 浏览:262
开方释义:求一个数的方根的运算、即乘方的逆运算。
求n个相同因数乘积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power)。

乘方是求n个相同因数乘积的运算,其结果叫做幂,记作a^n。其中,a叫做底数,n叫做指数;a^n可读作“a的n的次方”,也可读作“a的n次幂”。

在有了乘方之后,运算顺序为“先乘方,再括号(先小括号,再中括号,最后大括号),接着乘除,最后加减”。当底数为0的时候,这个数(即0)的n(n>0)次方都是0,但n<=0(非正数)是无意义的;当底数为1的时候,这个数(即1)的n次方都是1。

  • 同底数幂法则,当同底数幂相乘除的时候,原来的底数作底数,指数的和或差作指数,可记作如下:

a^m · a^n = a^(m+n) 或 a^m ÷ a^n = a^(m-n) , m、n均为自然数

  • 正整数指数幂法则,可记作a^k = a*a*....*a(k个a),其中k∈N*(即k为正整数)
  • 指数为0幂法则,可记作a^0 = 1 ,其中a≠0 ,k∈N*
  • 负整数指数幂法则,可记作a^(-k) = 1/(a^k) ,其中a≠0,k∈N*

特别地,当指数为2的时候,即一个数的2次方被称为平方,记作a²;同理,一个数的3次方被称为立方,记作a³。

开方是指求一个数的n次方根的运算,记作n√a。其中,a叫做被开方数,n叫做根指数;n√a可读作a的开n次方。

如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a,那么这个数叫做a的n次方根。当n为奇数时,这个数为a的奇次方根;当n为偶数时,这个数为a的偶次方根。习惯上,将2次方根叫做平方根,将3次方根叫做立方根。

  • 平方根与算术平方根,如果x² = a(a >= 0),那么x叫做a的平方根;如果x² = a(a >= 0),并且x≥0,那么x叫做a的算术平方根。一个正数有2个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根。一个正数的算术平方根只有一个,非负数的算术平方根一定是非负数。 a 有平方根的条件:a >= 0,因为正数、零、负数的平方都不是负数,故负数没有平方根和算术平方根。
  • 立方根,如果x³ = a,那么x叫a的立方根,也称为三次方根。a 有立方根的条件:a 为全体实数,即正数、负数、零均可。

举一反三

从上述来看,乘方与开方,互为逆运算。其中,一个数的算术平方根其实等价于这个数的平方根的绝对值,一个数的平方根有两个值,且它们互为相反数。

下面举几个例子,如下:

  1. 求 2 的平方根,结果记作为 ±√2。
  2. 求 2 的算术平方根,结果记作为 +√2,前面的“+”号可以省略,即记作为 √2。
  3. 求 2 的立方根,结果记作为 ³√2。
  4. 求 -2 的平方根,无结果,因为负数没有平方根。
  5. 求 -2 的算术平方根,无结果,因为负数没有算术平方根。
  6. 求 -2 的立方根,结果记作为 -³√2。
  7. 求 (-2)² 的平方根,结果记作为 ±√(-2)² = ±2。请注意,先求根号里的平方运算,这里即为4,再算4的平方根,最终结果为±2。
  8. 求 (-2)² 的立方根,结果记作为 ³√(-2)² = ³√4。请注意,先求根号里的平方运算,这里即为4,再算4的立方根,最终结果为 ³√4。
  9. 求 -(-2)² 的立方根,结果记作为 ³√-(-2)² = - ³√4。请注意,先求根号里的平方运算,这里即为-4,再算-4的立方根,最终结果为 -³√4。

接着,简要讲讲平方根(含算术平方根)和立方根的化简(求部分数的开方)和化简的逆运算(求部分数的乘方)。例如,算术平方根√12,可化简为√(4*3) = 2√3;平方根±√12,可化简为±√(4*3) = ±2√3。同理,平方根±2√3,也可把 2 化入到根号里,相当于对 2做平方根的逆运算(即平方),±2√3 = ±√(2² *3) = ±√(4 * 3) = ±√12。

最后,说说比较数的大小,当两个数的运算符号一致则直接比较大小即可,例如√3 和 √2的大小,两个数的运算符号都是求平方根运算,所以只要比较根号里的数哪个大就好,即√3 大于 √2;否则要把两个数变为同一运算符号的数后,再比较大小。

  1. 比较√9 和 2√3的大小,先把 2√3改为√(2² * 3) = √(4 * 3) = √12,然后比较√12和√9的大小,显然√12大于√9,即2√3 > √9。
  2. 比较π和√9的大小,先把π改为π² = (3.1415926535...)² > √(3)² = √9,所以π>√9。


「版权声明:图文来源网络,侵权联系即删,多谢」